Μαθηματικές Παρουσιάσεις: Ιστορικό Σημείωμα: Τεχνικές Επίλυσης Εξίσωσης 2ου Βαθμού

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Πατήστε "Διαβάστε περισσότερα" ή επιλέξτε από το μενού "Βιβλιοθήκη/Άρθρα-Βιογραφίες" για να δείτε το ιστορικό σημείωμα στις τεχνικές επίλυσης εξίσωσης 2ου βαθμού.

Για να κατεβάσετε το αρχείο πατήστε τον σύνδεσμο:

Ιστορικό Σημείωμα

Για να το δείτε σε μορφή PowerPoint(προβολή) πατήστε

"ΕΔΩ"

2/1/2015

Από τα αρχαία χρόνια οι μαθηματικοί χρησιμοποίησαν διάφορες τεχνικές για να λύσουν μια εξίσωση 2ου βαθμού.

Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποίησαν γεωμετρικές μεθόδους, ίσως λόγω των δυσκολιών που είχαν με τους άρρητους αριθμούς, αλλά και λόγω πρακτικών δυσκολιών που προέκυπταν από τα ελληνικά ψηφία.

Οι Ινδοί και οι Άραβες χρησιμοποίησαν μια μέθοδο όμοια με τη σημερινή διαδικασία «συμπλήρωσης τετραγώνου», περιγράφοντας όμως λεκτικά τον τρόπο εύρεσης των λύσεων. Αυτοί θεωρούσαν ως διαφορετικού τύπου κάθε μία από τις εξισώσεις

x² + px = q, x² - px = q, x² - px = -q .

Σήμερα όμως γράφουμε τις εξισώσεις αυτές με τη γενική μορφή

αx² + βx + γ = 0

Ο σύγχρονος συμβολισμός άρχισε να εμφανίζεται περί το 1500 μ.Χ, και οι δυνατότητες χρησιμοποίησης αρνητικών ριζών και ακόμα μιγαδικών ριζών προτάθηκαν από τους Cardano και Girard. Η γεωμετρική παράσταση των αρνητικών ριζών από τον Descartes και των μιγαδικών αριθμών από τούς Wessel, Argand και Gauss έκαμε τους αριθμούς αυτούς περισσότερο αποδεκτούς ως ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Όμως η ποικιλία των επιλύσεων που αναπτύχθηκε τα αρχαία χρόνια μας ενέπνευσε να αναπτύξουμε μερικούς τρόπους εξαγωγής του τύπου

που δίνει τις ρίζες της γενικής εξίσωσης 2ου βαθμού

Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τρεις μεθόδους επίλυσης μίας εξίσωσης 2ου βαθμού

Μέθοδος των Ινδών

Η επίλυση αυτή που επινοήθηκε στην Ινδία, αποδίδεται στον Sridhara (1025 μ. Χ. περίπου).

Έχουμε διαδοχικά:

αx² + βx + γ = 0

αx² + βx = -γ

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με 4α και ύστερα προσθέτουμε το β² και στα δύο μέλη, για να προκύψει ένα «τέλειο» τετράγωνο στο αριστερό μέλος.

Δηλαδή

Έτσι προκύπτει ότι:

Σχόλιο: Η απλότητα της μεθόδου των Ινδών χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το κλάσμα δεν εμφανίζεται. παρά μόνο στο τελευταίο βήμα.

Μέθοδος του Vieta

Η εξίσωση 2ου βαθμού

μπορεί να λυθεί ευκολότερα, αν δεν περιέχει τον πρωτοβάθμιο όρο βx, πράγμα που μπορεί εύκολα να επιτευχθεί με την αντικατάσταση

Τότε η εξίσωση γίνεται:

η οποία όταν απλοποιηθεί γίνεται:

Οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι

εφόσον

Για να βρούμε τις ρίζες της αρχικής εξίσωσης αντικαθιστούμε την παραπάνω τιμή του y στην (1) και έχουμε:

οπότε

Σχόλιο: Η μέθοδος αυτή του Vieta είναι ενδιαφέρουσα, γιατί είναι ο προάγγελος της τεχνικής για την επίλυση της γενικής τριτοβάθμιας καθώς και της διτετράγωνης εξίσωσης. Για παράδειγμα, το πρώτο βήμα στην επίλυση της εξίσωσης αx³ + βx² + γx + δ = 0, είναι η αντικατάσταση

που απαλλάσσει την εξίσωση από το δευτεροβάθμιο όρο.

Μέθοδος του Harriot

Ο μαθηματικός Thomas Harriot (1560-1621) εφάρμοσε τη μέθοδο της παραγοντοποίησης, για να βρει τις λύσεις μιας εξίσωσης 2ου βαθμού, στο μεγάλο έργο του για την άλγεβρα «Artis Analytical Praxis». Η τεχνική του είναι η εξής περίπου:

Υποθέτουμε ότι x₁ και x₂ είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

(1).

Σχηματίζουμε τώρα μία εξίσωση με ρίζες x₁ και x₂.

Αυτή είναι η (x - x₁ )(x - x₂ ) = 0 ή ,ισοδύναμα, η