neo

ΚΚ

Κωνικές Τομές: Ιστορικό σημείωμα

Κωνικές Τομές:  Ιστορικό Σημείωμα
Κατασκευή στο χώρο

Κωνική τομή ονομάζεται μία καμπύλη που προκύπτει από την τομή κώνου και επιπέδου, ή ακριβέστερα, από την τομή ενός επιπέδου με δύο ίσες ορθές άπειρες κωνικές επιφάνειες που έχουν κοινό άξονα
και συνδέονται στην κορυφή τους (ο ένας κώνος 
εφαρμόζει "αναποδογυρισμένος" πάνω στην κορυφή του άλλου). Όλες οι καμπύλες το πολύ δεύτερης τάξης στο επίπεδο είναι κωνικές τομές.

Οι κωνικές τομές είναι:ο κύκλος, η έλλειψη, η παραβολή, η υπερβολή.






Κύκλος ή περιφέρεια με κέντρο Κ και ακτίνα ρ, είναι το γεωμετρικό σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το Κ απόσταση ρ. Συμβολίζουμε C (Κ,ρ). Με εναλλακτική διατύπωση, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.

Κάθε σημείο Μ του επιπέδου του κύκλου C (Κ,ρ) για το οποίο ισχύει ΜΚ < ρ, λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Αντίστοιχα κάθε σημείο Ν του επιπέδου για το οποίο ΝΚ > ρ λέγεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του λέγεται κυκλικός δίσκος. Στο σχήμα  το εξωτερικό του κύκλου δηλώνεται με το ελαφρό γκρίζο ενώ το εσωτερικό με το έντονο γκρίζο.                                                             
Σχήμα : Το εσωτερικό  και το εξωτερικό του κύκλου



Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Όταν αυτή περιέχει το κέντρο του, λέγεται διάμετρος και τα άκρα της χαρακτηρίζονται αντιδιαμετρικά.

Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο), "Κύκλος εστί σχήμα επίπεδον υπό μιας γραμμής περιεχόμενον [ή καλείται περιφέρεια], πρός ήν αφ'ενός σημείου τών εντός τού σχήματος κειμένων πάσαι αι προσπίπτουσαι ευθείαι [πρός τήν τού κύκλου περιφέρειαν] ίσαι αλλήλαις εισίν. Κέντρον δε τού κύκλου το σημείον καλείται. Διάμετρος δε του κύκλου εστίν ευθεία τις διά τού κέντρου ηγμένη και περατουμένη εφ' εκάτερα τά μέρη υπό τής τού κύκλου περιφερείας, ήτις καί δίχα τέμνει τόν κύκλον".

Στον παραπάνω ορισμός ο Ευκλείδης ταυτίζει τον κύκλο με τον δίσκο. Για αυτό το λόγο εμφανίζεται ο όρος περιφέρεια. Με άλλα λόγια οι λέξεις περιφέρεια και κύκλος περίγραφαν στην αρχαιότητα αυτά που σε σημερινή ορολογία λέμε κύκλος και δίσκος αντίστοιχα.


Η παραβολή ως κωνική τομή.


Στη Γεωμετρία, παραβολή ονομάζεται η επίπεδη καμπύλη που προκύπτει από την τομή άπειρου κώνου από επίπεδο παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού. (Γενέτειρα του κώνου ονομάζεται η ευθεία που, αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα του κώνου, παράγει, δηλαδή "γεννά", την επιφάνεια του κώνου). Εδώ λέγοντας κώνος εννοείται άπειρος διπλός κώνος, δηλ. οι γενέτειρές του προεκτείνονται απεριόριστα από την κορυφή του και προς τις δύο κατευθύνσεις. Συνεπώς, η παραβολή είναι ανοιχτή, απεριόριστη (δίχως άκρα) καμπύλη.







Η έλλειψη είναι μία κωνική τομή και προκύπτει από την τομή ενός κώνου με επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του. Μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, όπως προκύπτει στην ειδική περίπτωση που η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του είναι κύκλος με κέντρο επί του άξονα.

Συγκεκριμένα, ας είναι Ε1  Ε2,  δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση 2γ μεταξύ τους και α>γ  ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα δύο σταθερά σημεία Ε Ε2, είναι σταθερό και ισούται με  2α>2γ.



Στη γεωμετρία με τον όρο υπερβολή χαρακτηρίζεται η καμπύλη που ορίζεται ως γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο καθορισμένα σημεία Ε και Ε΄, που λέγονται εστίες της υπερβολής, είναι σταθερά.
Η ευθεία που ενώνει τις εστίες της υπερβολής ονομάζεται βασική γραμμή, (Base line).
Η δε κάθετος στο μέσον της βασικής γραμμής ονομάζεται κεντρική γραμμή, (Centre line). Καθίσταται φανερό ότι όλα τα σημεία της κεντρικής γραμμής ισαπέχουν από τις εστίες Ε και Ε΄. Συνεπώς η γραμμή αυτή μπορεί και να χαρακτηρίζεται ως γραμμή "μηδενικής διαφοράς αποστάσεων".
Με τον καθορισμό δύο εστιών υπάρχουν άπειρες ομοέστιες υπερβολές.
Τα σκέλη της κάθε υπερβολής προεκτεινόμενα πολύ πέρα της βασικής γραμμής πλησιάζουν προς την ευθεία και τελικά καθίστανται ευθείες. Το ευθύγραμμο τμήμα της υπερβολής ονομάζεται ασύμπτωτος αυτής, τούτο προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσον της βασικής γραμμής.
http://el.wikipedia.org/






Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών κατασκευών, όπως, για παράδειγμα, το περίφημο πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου:

"Δοθέντος ενός κύβου, να κατασκευαστεί ένας άλλος με διπλάσιο όγκο".

Με αλγεβρικό συμβολισμό αυτό σημαίνει ότι αν α είναι η πλευρά του αρχικού κύβου, να κατασκευαστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα x , που θα είναι η πλευρά του κύβου με όγκο 2α^3 , δηλαδή x^3 = 2α^3 . Ο Πρόκλος (450 περίπου μ.Χ.) αναφέρει ότι ο Ιπποκράτης ο Χίος (430 περίπου π.Χ.) ήταν ο πρώτος που ανήγαγε το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου στην παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων ανάμεσα στο α και το 2α, δηλαδή στην κατασκευή δύο τμημάτων x και y, τέτοιων, ώστε   (από τις αναλογίες αυτές προκύπτει εύκολα ότι x^3 = 2α^3 , δηλαδή το x θα είναι η πλευρά του ζητούμενου κύβου).

Υπενθυμίζουμε εδώ ότι το πρόβλημα παρεμβολής μιας μέσης αναλόγου ανάμεσα σε δύο γνωστά τμήματα α, β(δηλαδή η κατασκευή τμήματος x τέτοιου, ώστε α/x=x/β ) λύνεται εύκολα με κανόνα και διαβήτη, δηλαδή με τη βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών γεωμετρικών καμπύλων. Επειδή από τις αναλογίες (1) προκύπτει x^2=αy (2),y^2=2αx(3) και xy=2α^2 ή y=2α^2/x (4), συμπεραίνουμε ότι τα μήκη των τμημάτων x και y θα είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο από τις τρεις καμπύλες (2), (3) και (4), που είναι αντιστοίχως δύο παραβολές και μία υπερβολή.

Η φράση "Μεναιχμείους κωνοτομείν τριάδας", που αναφέρεται σε ένα επίγραμμα του Ερατοσθένη του Κυρηναίου (250 περίπου π.Χ.) σχετικό με το διπλασιασμό του κύβου, έχει οδηγήσει στην υπόθεση ότι οι τρεις αυτές καμπύλες 
ανακαλύφθηκαν από τον Μέναιχμο, εταίρο στην Ακαδημία του Πλάτωνα, γύρω στο 350 π.Χ.
Στη μία από τις δύο λύσεις του Μέναιχμου, που αναφέρει ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης (550 περίπου μ.Χ.), οι καμπύλες κατασκευάζονται σύμφωνα με τα γεωμετρικά ισοδύναμα των (3) και (4). Για παράδειγμα, το Μ, ως σημείο της παραβολής, προσδιορίζεται, έτσι ώστε το τετράγωνο πλευράςΜΚ να είναι ισοδύναμο προς ένα ορθογώνιο με πλευρές 2α και ΜΛ(δηλαδή y^2=2αx ), ενώ ως σημείο της υπερβολής, έτσι ώστε το ορθογώνιο με πλευρές ΜΛ και ΜΚ να είναι ισοδύναμο προς ένα ορθογώνιο με πλευρές 2α και α (δηλαδή xy = 2α^2) . Τέλος, τα ζητούμενα τμήματα x, yπροσδιορίζονται φέρνοντας τις κάθετες από το σημείο τομής των δύο καμπύλων πάνω στις ασύμπτωτες της υπερβολής (η μία από τις οποίες είναι ταυτόχρονα και άξονας συμμετρίας της παραβολής).

Γύρω στο 300 π.Χ., η υπερβολή, η παραβολή και η έλλειψη είχαν γίνει αντικείμενο συστηματικής μελέτης, ως οι τομές που δημιουργούνται στην επιφάνεια ενός κώνου από ένα επίπεδο κάθετο σε μια γενέτειρά του.

Ανάλογα με τη γωνία της κορυφής του κώνου οι καμπύλες αυτές ορίζονταν ως "οξυγωνίου κώνου τομή" (έλλειψη), "ορθογωνίου κώνου τομή" (παραβολή) και "αμβλυγωνίου κώνου τομή" (υπερβολή). Οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται από τον Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.) στα έργα του "Τετραγωνισμός ορθογωνίου κώνου τομής" και "Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων". Αποκορύφωμα της θεωρητικής μελέτης των τριών κωνικών τομών κατά την αρχαιότητα, υπήρξε το περίφημο έργο "Κωνικά" του Απολλώνιου του Περγαίου (250 περίπου π.Χ.), ο οποίος στηρίχτηκε σε προηγούμενα έργα του Αρισταίου και του Ευκλείδη, τα οποία όμως δε διασώθηκαν.

Τα "Κωνικά" ήταν χωρισμένα σε 8 βιβλία, που περιείχαν μια άψογη γεωμετρική θεωρία των κωνικών τομών και ένα μεγάλο πλήθος νέων αποτελεσμάτων. Στα 7 πρώτα βιβλία που έχουν διασωθεί υπάρχουν 387 θεωρήματα ενώ στο 8ο, όπως συνάγεται από μαρτυρία του Πάππου, υπήρχαν άλλα 100.




Μια βασική καινοτομία του Απολλώνιου υπήρξε ο ορισμός των τριών καμπύλων διαμέσου τριών διαφορετικών τομών ενός κώνου, καθώς και η εισαγωγή των όρων "παραβολή", "έλλειψη" και "υπερβολή".

Τα ονόματα αυτά έχουν άμεση σχέση με το νέο τρόπο ορισμού των κωνικών τομών από τον Απολλώνιο, σύμφωνα με τον οποίο, σε κάθε τομή του κώνου από το επίπεδο αντιστοιχεί ένα σταθερό μήκος (παράμετρος), το οποίο εξαρτάται από το είδος του κώνου και από τη θέση του επιπέδου. Ο Απολλώνιος έδειξε ότι για κάθε καμπύλη τα δύο γραμμοσκιασμένα εμβαδά σε καθένα από τα διπλανά σχήματα είναι ίσα μεταξύ τους. Το ένα από αυτά είναι το τετράγωνο με πλευρά την κάθετη από σημείο της καμπύλης προς τον άξονα συμμετρίας της. το άλλο είναι ένα ορθογώνιο με μια πλευρά την απόσταση του ίχνους αυτής της κάθετης από την κορυφή της καμπύλης. Η σχέση της άλλης πλευράς του ορθογωνίου προς τη σταθερή παράμετρο της τομής είναι αυτή που καθορίζει τη μορφή και το όνομα της καμπύλης. Αν η άλλη πλευρά ισούται ("παραβάλλεται") προς την παράμετρο, τότε η καμπύλη είναι παραβολή. Αν η άλλη πλευρά είναι μικρότερη ("ελλείπει") από την παράμετρο, η καμπύλη είναι έλλειψη, ενώ αν είναι μεγαλύτερη ("υπερβάλλει"), η καμπύλη είναι υπερβολή.


Πηγή: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης


Β Γενικού Λυκείου


Κωνικές Τομές: Κατασκευή κύκλου, έλλειψης και υπερβολής στο χώρο.



Πηγή : Ματθαίος Τσιλπιρίδης  http://www.emathisis.gr/




Πηγή: http://www.youtube.com/watch?v=heB2s6p0Tms




Δείτε μια υπέροχη δουλειά από τον Δημήτρη Ποιμενίδη 
http://www.sonom.gr/e.html
Παραβολή



Έλλειψη




Υπερβολή




Ανακλάσεις στις κωνικές τομές